Mechanik ­ Statik

Schwerpunkt

Kreisring mit Radius, im Mittelpunkt drehbar gelagert:  f¨r Gleichgewicht u

Institut f¨r u Allgemeine Mechanik

UProf.Dr.R.Greimel

¨ Ein d¨nner Kreisring (Radius r, Offnungswinkel 2 - ) ist bei B u zum Mittelpunkt hin gebogen und dort drehbar aufgeh¨ngt. Das a Gewicht von Bogen und Radius je L¨ngeneinheit ist q. a 1.) Man berechne die Koordinaten des Linienschwerpunkts xs , ys . 2.) Wie groß muß der Winkel  gemacht werden, damit die Lage mit waagrechtem Radius MB eine Gleichgewichtslage ist ? 3.) Ist diese Gleichgewichtslage stabil?
= r (1 + 2  - ).

2 r sin(/2) .  1 r (r/2) - r  rs cos(/2) (1/2) - sin  xs = =r . i xi = r (1 + 2  - ) 1 + 2 -  1 - r  rs sin(/2) -2 sin2 (/2) 1 - cos  ys = =r = -r . i yi = r (1 + 2  - ) 1 + 2 -  1 + 2 -  MB waagrecht ist Gleichgewichtslage, wenn S unterhalb von M, d.h. xs = 0. 1  xs = 0 : (1/2) - sin  = 0  sin  = -  = = 30 . 2 6 1 - cos 30 Dann ist ys = - r = - 0, 0198 r. 1 + 2  - (/6) Weil der Schwerpunkt unterhalb des Aufh¨ngungspunktes liegt a ist die Gleichgewichtslage stabil ! Schwerpunkt des fehlenden Bogens r  : rs =

Gesamtl¨nge: a

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Biegetr¨ger a

2 abgewinkelte Tr¨ger mit a waagrechtem Verbindungsstab

Institut f¨r u Allgemeine Mechanik

UProf.Dr.R.Greimel

Ein Tr¨ger besteht aus zwei, um 60 abgewinkelten Teilen (Schenkell¨nge ) die in C gelenkig a a miteinander verbunden sind. Die beiden Ecken sind durch einen Stab DE = verbunden. Das Tragwerk ist in den Endpunkten A und B statisch bestimmt gelagert; es wird in E durch die lotrechte Kraft F belastet. 1.) Man berechne die Auflagerkr¨fte in A und B sowie die Kraft S und die Gelenkkraft in C . a 2.) Man ermittle grafisch die Auflagerkr¨fte und die Stabkraft S. a 3.) Man berechne den Verlauf der Biegemomente und skizziere sie uber dem Tragwerk. ¨

2 1 F ; FA = F . 3 3 Gleichgewicht am Teilsystem CB: h = 3/2. 3 MC = 0 : S h + F - FB = 0. 2 2 F Stabkraft: S =  . 3 Biegemomente in den Ecken: 1 2 MD = F A = F , M E = FB = F . 3 3 MA = 0 : FB 3 = F 2 - FB =

Gleichgewicht am Gesamtsystem AB:

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Fachwerk

Kreisbogen ­ Fachwerk: CREMONA­Plan f¨r Ersatzsystem u

Institut f¨r u Allgemeine Mechanik

UProf.Dr.R.Greimel

Das dargestellte symmetrische Fachwerk besteht aus 5 geraden St¨ben und 8 Kreisbogen ­ a Tr¨gern. Das Fachwerk ist statisch bestimmt gelagert und durch die lotrechte Einzelkraft F a in der Symmetrieebene belastet. 1.) Man ersetze die Kreisbogen durch gerade St¨be und zeichne f¨r diea u ses Ersatzsystem den CREMONA­Plan der Stabkr¨fte. a 2.) Man berechne das maximale Biegemoment im Kreisbogen 1 . Neigungswinkel: Stab 1 : 1 = 60 , Stab 2 : 2 = 45 . Knotengleichgewicht bei A : Fx = 0 : S1 cos 60 + S2 cos 45 = 0, 1 Fz = 0 : S1 sin 60 + S2 sin 45 = - 2 F , F S1 = -  = - 1, 3662 F, 3-1 1 S2 = -S1  = 0, 966 F . 2

Maximales Biegemoment im Bogen 1 : M1 = S1 h = S1 (2 r - 2 r cos 30 ) M1 = 2, 732 F r (1 - 0, 866) = 0, 366 F r.